Plan complexe / Descente continue
L'ensemble de Mandelbrot rassemble les nombres complexes c pour lesquels la suite définie par z → z² + c, partie de zéro, reste bornée. Sa frontière n'a pas d'échelle propre : à tout grossissement elle continue de révéler de nouvelles formes, sans jamais se répéter à l'identique ni se simplifier.
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L'ensemble est connexe — d'un seul tenant — résultat établi par Adrien Douady et John Hubbard en 1982. Sa frontière est de dimension de Hausdorff 2 : elle est aussi « épaisse » qu'une surface tout en restant une courbe, ce qu'a démontré Mitsuhiro Shishikura. On y trouve une infinité de copies réduites et légèrement déformées de l'ensemble entier, reliées entre elles par des filaments.
Les ensembles de Julia sont l'autre face de la même famille : on y fixe c et l'on fait varier le point de départ. Un résultat de Fatou et Julia les relie aux précédents — l'ensemble de Julia associé à c est connexe si et seulement si c appartient à l'ensemble de Mandelbrot. Ce dernier est donc exactement la carte des premiers.